Miksi jotain on olemassa sen sijaan, että ei olisi mitään?
Vastaus suurimpaan metafyysiseen kysymykseen / kaikkien miksi -kysymysten äitiin / jonninjoutavaan filosofiseen jaamiskeluun (valitse sopiva) tulossa tälle palstalle.
Vastaus on vielä salaisuus. (”Eikä ole et vain tiedä”?) Pidän jännitystä viikon verran (käyn lapissa) ja kirjoitan sen sitten tähän:
(Jaa, laitetaan vastaus vain kommentteihin, ettei tule liian suurieleistä julistusta. 14.12.2007)
Suksihiihtelyä 
17.12.2007 7:30 |
Nollaa ei ole.
(Lisäys 28.1.2011: Onpas. Väärin ajateltu, nolla on ihan kunnon kaveri.)
17.12.2007 7:40 |
Siinä se oli.
”Miten niin nollaa ei ole. Nollahan on ihmiskunnan suurimpia keksintöjä. Matematiikastakin tuli mahdollista vasta, kun Al-Khwarizmi kekkasi nollan. ”?
On nolla matematiikassa olemassa, mutta ei ”oikeasti”. Nollan (niin kuin minkä tahansa tasaluvun) olemassa olo edellyttää, että on myös äärettömiä (ks. ”todistus” seuraavassa kommentissa*). Äärettömillä taas voidaan todistaa matematiikassa (käyttämillämme aksioomilla) asioita, jotka oikeasti eivät selvästikään ole ”oikeasti” totta. Esimerkiksi että lukuja (1, 2, 3…) on yhtä paljon kuin parillisia lukuja (2, 4, 6…).
17.12.2007 7:44 |
* 0 = 0.000…
tasan siis,
ei esimerkiksi suunnilleen
0.0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
Mutta missä ”oikeasti” näkee nollan? Mitä jos kymmenen potenssiin sadas numero onkin kolme eikä nolla? Kuka sen sieltä löytää? Kymmenen potenssiin sata ei ole mitään, jos nollan pitäisi olla äärettömän tarkka (10^100/ääretön=0).
Lisäys 28.1.2011 (”vähän” sekavaksi menee viestiketju, mutta tämä on harjoituskenttä, jossa ajatuksia kehitellään, laitan johonkin muualle sitten vähän hiotumpaa tekstiä): Ääretöntä tarkkuutta ei ole. Nollaan pitää lyödä piste jossain vaiheessa (pohdittavaksi jää missä…), ja se on sitten siinä: 0.000…000. Ei enää kolmea pistettä. Mielivaltaisen pienellekin pitää antaa arvo: epsilon = 0.000…0003. Vaikka.
18.12.2007 18:11 |
En tiedä liittyykö tähän, mutta tiedätkö että 0,9999…. = 1. Voin todistaa – ihan oikeasti!
20.12.2012 23:02 |
20.12.2007 8:24 |
Joo muistan tuon. Huijua sekin. Vaikka kuinka pitkälle mennään ovat eri asia, mutta äärettömässä sama.
17.01.2008 0:05 |
onko ”ei mitään” sama asia kuin 0. ja jos muka on niin miten niin.
17.01.2008 16:10 |
Mitä jää jos piistä vähennetään pii? Vai jääkö mitään?
17.01.2008 20:01 |
Aksiooma: On olemassa reaaliluku – sanotaan sitä nyt vaikka nollaksi (0) – jolla on sellainen ominaisuus, että a+0=a kaikilla reaaliluvuilla a.
Se, mitä tarkoittaa ”ei mitään” onkin sitten jotakin muuta kuin matematiikkaa.
18.01.2008 13:30 |
Pitäisiköhän poistaa tästä ketjusta kategoria ”matematiikka” (matikka) ja jättää vain ”filosofia ja muu hömppä”..?
18.01.2008 15:18 |
(Piti oikein katsoa mikä se minun ”vastaukseni” oli, en enää muistanut. ”Nollaa ei ole” – aika ovelaa:)
En epäile yhtään, etteikö nollaa ole matematiikassa. Mutta onko sitä ”oikeasti”?
Jos jossain on höyryveturi ja siitä otetaan pois höyryveturi niin mitä jää? Nolla höyryveturia? Mistä tietää, ettei siinä olekin nolla kumkvattia?
Tai, onko seuraava väite totta:
minulla on toisessa housuntaskussa nolla okapia ja toisessa nolla Andromedan galaksia?
”On”? ”Tasan nolla”? ”0.000…”?
Totta on kuitenkin, että taskussani on aivan varmasti atomeja, jotka ovat joskus olleet osa okapia. Atomit ovat niin pieniä, että taskussa olevassa ilmassa on atomeja suunnilleen joka okapista joka joskus on ollut olemassa. Andromedan galaksistakin varmaan jotain neutriinoja huitoo taskuun koko ajan. Entä mistä löytää varmasti vaikka nolla elektronia, kun virtuaalisia hituja hilluu joka paikassa koko ajan?
(Juu, ”filosofia ja muu hömppä” on varmasti oikea kategoria.)
19.01.2008 16:37 |
Meidän maailmassa on aina jotain- nolla ei tarkoita =ei mitään, se on lukumäärän ilmaisin. Tyhjiö ei ole tyhjä (abs.) se tarkoittaa vain tuntemamme materian määrän tietyssä tilassa. Tilakin on määrä.
Maailmassa ei ole kokonaislukua =määrää. On vain yksi kokonaisluku 1=maailman kaikkeus ja sekin on ääretön, muut ovat ”murtolukuja”tms.
Todellisuudessa mitään kokonaislukua (aineellinen) ei voi määrittää. Me näämme aineellisen kappaleen ääriviivat ja pidämme niitä aineellisen kappaleen rajoina, näinhän se ei ole. Arkisella tasolla on OK. mutta..
22.01.2008 12:57 |
”Lukumäärän ilmaisinta ei ole”, hmm, ei… ei kuulosta ollenkaan niin hyvältä. Taidan pitäytyä nollassa ;)
13.08.2008 14:18 |
Esko Valtojan mukaan äärettömässä maailmankaikkeudessa täytyy toteutua kaikki mahdolliset vaihtoehdot http://luotiset.wordpress.com/2007/08/10/kirjojen-kulttuurievoluutiota/#comment-9
Sellainenkinko (upea sana) kuin Kettusen paluu -kirjassa jossa
”jokaisesta Rovaniemen postilaatikosta tulvii ananaspyreetä ja vattukukkoa aina kun joku irlantilainen nuohooja menee vaahtokylpyyn, ja joissa kaikilla naisilla on aina polkupyörän tarakalla mukanaan strutsi ja neljä mielikuvitusystävää: Az, Jeh, Kopiokonepiru ja Mithrandruj”
?
Kajo, M. 2003: Kettusen paluu: ihmisen käsikirja. WSOY. s. 230
20.11.2010 23:37 |
Ykkösen ja kakkosen välillä on matematiikan mukaan ääretön määrä lukuja. Silti siellä eivät toteudu kaikki mahdolliset vaihtoehdot. Sieltä puuttuu esimerkiksi kolme.
13.08.2008 14:27 |
Ääretön satunnaisluku? Pöh.
Jos vaikka pii olisi sellainen, niin jossain vaiheessa sattumalta siinä toistuvat samat luvut uudestaan mitkä siihen asti ovat jo olleet
(3,14159… 14159… )
Kuinka pitkälle pitää mennä?
Silti ei oltaisi lähelläkään ääretöntä.
Jossain vaiheessa sattumalta kaikki siihen astiset luvut toistuvat biljoona kertaa peräkanaa
(3,14159… 14159 … 14159 … 14159… … … )
Vieläkään ei olla yhtään lähempänä ääretöntä. Jossain vaiheessa sattumalta kaikki siihen astiset luvut toistuvat ”mielivaltaisen monta” kertaa peräkanaa. Eli ”äärettömän” monta kertaa! Eikö luku silloin muka ole jaksollinen ja siten ei satunnainen?!
Nikke Knatterton -johtopäätös:
Jos ääretön olemassa, satunnainen luku ei ole satunnainen.
Ristiriita –> ääretöntä ei ole :)
27.05.2010 11:16 |
Mikä tässä ”todistuksessa” menee pieleen:
1. Pii (esimerkiksi) on äärettömiin jatkuva ja ihan arvaamaton luku, millään ei voi etukäteen arvata mikä numero tulee seuraavaksi.
2. Jossain vaiheessa ihan varmasti sattumalta tulee vastaan nolla.
3. Jossain vaiheessa, aika harvoin mutta kuitenkin, tulee kaksikin nollaa.
4. Jossain vaiheessa tulee jopa kolme nollaa.
5. Jossain vaiheessa, ihan mielivaltaisen epätodennäköisesti, mutta jossain vaiheessa kuitenkin – äärettömän pitkä luku kun on kyseessä – tulee vastaan mielivaltaisen monta nollaa.
6. Luvun loppu on siis pelkkiä nollia.
7. Pii (ja mikä vaan luku) menee siis loppujen lopuksi tasan kun tarpeeksi pitkälle mennään.
01.10.2010 17:58 |
Löysin virkistävän uuden vastauksen tähän kaikkien kysymysten pöhköön kantaemoon. Tässä on jotenkin oikeaa henkeä:
“Why is there something instead of nothing?”
To properly engage this question we have to realize that at this very moment there are non-existent philosophers in non-existent universes who are asking: ”Why is there nothing instead of something?”.
(Lähde: jotain blogia kommentoiva nimimerkki ”AnswersInGenitals”)
Minusta tämä olisi vieläkin parempi, jos jättäisi tuon ”at this very momentin” pois – eihän hetkiäkään ole olemassa, kun mitään ei ole olemassa.
Näin:
Olemattomat filosofit pohtivat olemattomassa maailmassa, miksi mitään ei ole olemassa sen sijaan, että olisi.
Tai, jos ”hetken” haluaa mukaan:
Olemattomat filosofit pohtivat olemattoman hetken olemattomassa maailmassa, miksi mitään ei ole olemassa sen sijaan, että olisi.
-Nopoles
28.01.2011 11:03 |
Jotain tai ei-mitään – miksi sulkea toinen pois?
14.07.2011 11:11 |
Muotoilenpa vastauksen vielä uudella tavalla: ”Miksi jotain on olemassa sen sijaan, ettei olisi mitään?” – Onhan ei-mitään olemassa, mutta sen lisäksi on olemassa jotain.
03.10.2010 12:27 |
mun mielestä noissa ”todistuksissa” tehdään koko ajan samaa akhilleus ja kilpikonna -päätelmää. ”mielivaltaisen monesta” on aika hankala päätellä yhtään mitään. paradoksilta kuulostavia päätelmiä siitä kyllä voi tehdä, kun ihmisen arkijärki ei oikein osaa käsitellä ääretöntä. mutta ääretön kertaa nolla siis ei ole nolla. (tai kyllä se voi olla, mutta se riippuu tilanteesta)
08.10.2010 17:26 |
Yritänkin ”todistaa”, että arjessa (oikeassa maailmassa) ei voi olla äärettömiä, joten ei ihme, jos arkijärki on ihmeissään niiden kanssa.
Jos kerta alkulukuja on äärettömästi (1) ja silti yhdessä kirjassa (2) selvästi lukee, että luvuista voi löytää ihan mielivaltaisen pitkän (N-1) pätkän jotain ihan muita lukuja kuin alkulukuja (N!+2, n!+3, … N!+(N-1)), niin selvästi huijausta ovat kaikki luvut… Ääretöntä ei ole oikeasti olemassa, eikä nollaa, eikä oikeastaan mitään lukua, muuta kuin likimäärin.
Viitteet:
1) Euclid 2 jälkeen kivisateiden: ?
2) Chaitin, G. 2006: Metamaths: the quest for omega. Atlantic Books, Lontoo. S. 15.
09.10.2010 21:55 |
sun todistukset ei ole kovin korrekteja. ”ääretöntä ei ole”, sen voin hyväksyä, sehän on yksi syy mm. sille, miksi matikassa nollalla jakaminen on ”kiellettyä.” se että jokin ”lähestyy ääretöntä” ei tarkoita, että ääretön olisi olemassa, se on vain puhekielinen ilmaisu sille, että jollakin ei ole ylärajaa. ei kai fysiikassakaan ole ääretöntä? eihän maailmankaikkeus ole sen enempää mitoiltaan kuin iältäänkään ääretön? ja siis varsinkaan ääretön EI ole luku, luvuilla pätevät laskusäännöt eivät välttämättä siis päde käytettäessä käsitettä ääretön.
miten niin nollaa ei ole? mitä tekemistä desimaaliluvuilla siinä on? mitä jos pitäydytään luonnollisissa luvuissa (N)? desimaaliluvuillakin on äärettömyyksiin yhdistettynä jänniä sivuilmiöitä, kuten vaikka se, että 0,9999999… = 1 eli ne ovat sama luku.
12.10.2010 10:03 |
Joo, huijasin :)
Tietysti nolla on olemassa. Matematiikassa! Kai nollan (tai ainakin jonkin luvun) olemassaolo kuuluu siinä väkisin jo aksioomiin, joten todistamisessa suuntaan tai toiseen ei olisi mitään mieltä.
Äärettömistä voisi sanoa, että kyllä pienet sellaiset ehkä menettelevät, mutta isojen äärettömien kanssa viimeistään tulee hulluksi. Cantorkin tuli. (Cantorilla oli kyllä elämässään muitakin murheita kuin äärettömät.)
Ihan oikea ja ymmärtääkseni hyvä matemaatikko (ainakin IBM maksaa sille palkkaa siitä, että se tekee mitä huvittaa) Chaitin (2006) ihmettelee ovatko useimmat (=100%…) luvut missään mielessä edes matematiikassa olemassa, kun useimpia lukuja ei voi – todistettavasti – mitenkään laskea (=uncomputable). ”Kunnon luvut” niin kuin 0.333.. ja pii (sivukommentti: = tau/2) voi laskea, mutta tällaiseen ”kunnon” lukuun osumisen todennäköisyys, kun luku valitaan satunnaisesti (mitä-se-ikinä-tarkoittaakin) on… nolla.
Chaitin etenee kekkaamalla uuden luvun, joka on kuin täysin satunnainen siinä mielessä, että sitä ei voi yhtään hitusta tiivistää tai ”zipata” pienemmäksi, mutta joka on silti matemaattisista aksioomista määriteltynä ihan kelpo luku: laskettavissa ja nimettävissä (Omega). Tästä luvusta ei voi tosin ikinä tietää, edes suunnilleen, kuinka suuri se loppujen lopuksi noin-niin-kuin-ihan-numeroin-ilmaistuna on, joten aika outo kelpo luku…
Lähde: Chaitin, G. 2006: Metamaths: the quest for omega. Atlantic Books, Lontoo. S. 109-115.
12.10.2010 10:22 |
Mennään pois matematiikasta siihen mitä oikeasti on olemassa. Uusi ”todistus”, että nollaa ei ole olemassa:
Meillä kotona on nolla kirahvia. Totta, hyvin tarkasti nolla, mutta ei ihan tasan! Aika paljon meillä kotona on kirahvien atomeja. Käytännössä meillä kotona kiertelee atomeja ihan kaikista kirahveista, jotka ikinä ovat eläneet. (Ihan totta, atomit ovat älyttömän pieniä ja ne kierrättyvät koko ajan!)
Otetaan joku tietty kirahvi (voit itse keksiä sille nimen). Se on Afrikassa. Ihan äärettömän tarkasti ei voi ikinä sanoa mistä tuo kirahvi alkaa ja mihin se loppuu. Mikä atomi kirahvin sarven yhden karvan kärjessä vielä kuuluu kirahviin ja mikä ei? Entä jos karva irtoaa? Koska kirahvin syömä hiiliatomi tarkkaan ottaen muuttuu kirahviksi?
Yleensäkin elävien olentojen yksilöllisyys on veteen piirretty viiva ja vaikka ei tällaisesta biologisesta metafysiikasta välittäisikään, kieltäähän jo pelkkä kvanttifysiikka yhdenkään kirahvihiukkasen täydellisen eristämisen muista maailmankaikkeuden hiukkasista (vertaa spooky giraffe action at a distance…) Atomeilla ei ole yksilöllisyyttä: ei voi tarkasti määritellä mikä hiukkanen on kirahvia ja mikä meidän kotia.
Meillä ei siis ole tasan nollaa kirahvia, meillä kotona, suunnilleen vaan. ”MOT”.
(Meillä on kyllä kotona tasan nolla öhkömönkiäistä. Mutta öhkömönkiäisiä ei oikeassa maailmassa killata, koska niitä ei oikeasti ole olemassa – ehkä matematiikankin voi ajatella öhkömönkiäiseksi…?)
Lisäys: hups, huomasin että tähän tuli kommentti! Editointi on pakko lopettaa. Meinasikin lipsahtaa levottomaksi… Hieno viestiketju tämä; pitää lukea joskus :) 12.10.2010 klo 14.15 (…kirjoituksiin tulee näemmä tuntia liian varhainen kellonaika – voikohan sitä säätää?)
12.10.2010 13:08 |
joo, nollan olemassaolohan on matikassa aksiooma, joten sikäli sen olemusta on siellä turha pohtia (”On olemassa 0 siten, että x+0=x, kaikilla xeR”). eikös Platon pohtinut tuota kirahvijuttua ja päätynyt siitä ideamaailmaansa? onko olemassa tasan yksi kirahvin idea? ei varmaankaan..
öhkömönkiäisiä täytyy pohtia jokus lisää. onko olemassa öhkömönkiäisen ideaa ja jos on, niin mikä se on ja mistä se on tullut?
12.10.2010 13:39 |
Sanoisin että Platonin ideat on nekin öhkömönkiäisiä… :)
31.12.2010 16:05 |
Marcus Chownin (2007) yhdessä kirjassa oli jännittävä luku, jonka avulla pääsin toisen vielä jännittävämmän kirjan jäljille (Calude 2007). Seuraavassa jälkimmäisestä kirjasta ihan oikeaa matematiikkaa, hyvänä vaihtelua tälle blogille…: ei ole todistettu, että esimerkiksi neliöjuuri kakkosen tai piin desimaaleissa tulisi jossain kohtaa vastaan ihan kaikki mahdolliset numeroketjut, mutta luvulle omega (määr. Chaitin 1975) tämä on todistettu; jossain vaiheessa omegassa tulee väistämättä esimerkiksi miljardi nollaa peräkanaa (Delahaye 2007). Jossain vaiheessa tulee todistettavasti ihan mikä vaan googolpleksi määrä ihan mitä vaan numerosarjaa – jos siis olettaa, että luvut ihan oikeasti voivat jatkua äärettömiin.
Chaitin vertaa reaalilukujen akselia reikäjuustoon ja ihmettelee miksi pitäisi uskoa niihin reaalilukuihin joita ei voi laskea (”uncomputable reals”; Chaitin 2006) – ja todennäköisyys, että satunnainen reaaliluku on laskettavissa on nolla. Itse äärettömän käsitteestä Chaitin pitää silti kiinni (”On muistettava, että ääretön on voimakas. Tosiaankin hyvin voimakas.”; Casti 2007). Joidenkin matemaatikoiden ja fyysikoiden mielessä koko käsite ”ääretön” horjuu – samalla kun horjuu ihan koko matematiikan ja luonnontieteiden perusta. Gödel ja Turing olivat vasta alkua, nyt mennään ja lujaa!
Ehkä onkin tullut aika siirtää ”ääretöntä ei ole olemassa” -jutut täältä nopolesin ”filosofia ja hömppä” -osastosta johonkin ihan oikean tieteen puolelle.
Joitain heittoja ”äärettömästä”:
”Koska reaaliluvuissa on äärettömästi desimaaleja, ne tuovat vaivihkaa mukanaan suurempia vaikeuksia kuin pystymme edes kuvittelemaan.”
(Delahaye 2007)
”Newtonin lakien ottaminen vakavasti edellyttää äärettömän suurten ja
äärettömän pienten määrien ja mielivaltaisen tarkkuuden
hyväksymistä.”, ”Todellinen maailmankaikkeus [ei mikään platoninen
taivas] voi aivan hyvin olla resurseiltaan ja iältään äärellinen.”
[…] ”[tällaisessa maailmankaikkeudessa] äärettömän tarkkojen
reaalilukujen ja differentoituvien funktioiden […] kaltaiset
käsitteet ovat kuvitelmaa…” (Davies 2007)
”Kuten kaikki tiedämme, vaikka useimmat eivät sitä myönnä, reaaliluvut
eivät ole todellisia, vaan puhtaasti kuvitteellisia, koska niissä on
äärettömän monta numeroa eikä sellaista asiaa kuin äärettömyys ole
olemassa.”, ”Väitteet jotka alkavat : ”Jokaiselle reaaliluvulle n…”
[…] ovat merkityksettömiä, koska en olettavat, että reaalilukuja on
äärettömästi. Mutta niitä on tietysti vain äärellisesti, koska
maailmamme, sekä fysikaalinen että matemaattinen, ovat äärellisiä.”
(Zeilberger 2007)
”Vastaus kysymykseen [millaista olisi maailmassa ilman Gödelin
teoreemaa] riippuu siitä, uskotaanko äärettömän käsitteeseen, koska
täysin äärellisessä maailmassa, piin ja neliöjuuri kahden kaltaisia
äärettömiä käsitteitä ei ole olemassa […]” (Casti 2007)
Lähteet:
Calude, C. S. (toim.) 2007: Randomness and complexity from Leibniz to Chaitin. World Scientific Publishing.
Casti, J. 2007: Gregory Chaitin: mathematician, philosopher, and
friend. Teoksessa Calude, C. S. (toim.): Randomness and complexity from
Leibniz to Chaitin, s. 417-420.
Chaitin, G. J. 1975: A theory of program size formally identical to
information theory.” J. Assoc. Comput. Mach. 329-340.
Chaitin, G. 2006: Metamaths: the quest for omega. Atlantic Books, Lontoo.
Chown, M. 2007: The never-ending days of being dead: dispaches from
the front line of science. Suom. 2008 T. Perhoniemi: Päättymättömät
päivät kuolleena: uutisia tieteen eturintamalta. Ursa. S. 129-156.
Davies, P. C. W. 2007: The implications of a cosmological information
bound for complexity, quantum information and the nature of physical
law. Teoksessa Calude, C. S. (toim.): Randomness and complexity from Leibniz
to Chaitin, s. 69-87.
Delahaye, J.-P. 2007: Omega numbers. Teoksessa Calude, C. S. (toim.):
Randomness and complexity from Leibniz to Chaitin, s. 343-357.
Zeilberger, D. 2007: An enquiry concerning human (and computer!)
[mathematical] understanding. Teoksessa Calude, C. S. (toim.): Randomness and complexity from Leibniz to Chaitin, s. 383-396.
07.01.2011 13:02 |
Ääretön tiedeblogissa.
28.01.2011 10:56 |
Olen muuttanut mieltäni (saa niin tehdä!): nolla on ok. ”Ei-mitään” on myös ok. Miksi ajatella että joko ”jotain” tai ”ei-mitään” – antaa olla sekä ”jotain” että ”ei-mitään”.
Ääretön ei edelleenkään ole ok. Ääretön tarkkuus ei edelleenkään ole ok. Ketä haittaisi, jos koko äärettömän käsite poistettaisiin sekä luonnontieteestä että matematiikasta? Palaan asiaan, pitää miettiä vielä (eivät nämä niin helppoja asioita ole!).
30.01.2011 20:02 |
Mä alan myös olla sitä mieltä, että ääretön on aika mieletön käsite. Jos olisi olemassa esim. joku pii, jossa on ääretön määrä desimaaleja, niin siellä desimaalien joukossa olisi jossain kohti mm. koko Shakespearen tuotanto (ascii-koodattuna) kaikilla maailman kielillä ja tämä kommentti, jota kirjoitan juuri nyt. Ja ihan siinä perässä olisi se kommentti, joka tähän seuraavaksi tulee ja itse asiassa koko tämä blogikin olisi jo valmiina siellä jossain odottamassa, niin menneiden kuin tulevien kirjoitustenkin suhteen.
Todennäköisyyshän, että äärettömän pitkässä lukujonossa EI esiinny jokin tietty äärellinen lukujono, on nolla.
31.01.2011 12:58 |
Minulle ainakin on ollut iso helpotus ajatella, että ääretöntä ei ole olemassa (missään muodossa).
Pii on sentään vielä aika ”järkevä” luku. Piin ”äärettömän monen” desimaalin ilmaisemiseen menee tietysti ”ääretön aika”, mutta pii on kuitenkin periaatteessa laskettavissa (computable). Pii on tiivistettävissä, sen voi ilmaista lyhyemminkin kuin luettelemalla sen jokaikisen numeron yksitellen (tietokoneohjelmalla, joka summaa sarjaa). Piille ei ymmärtääkseni ole todistettu, että se olisi sillä tavalla satunnainen, että siinä olisi pakko olla kaikki mahdolliset kaiken mittaiset numeroyhdistelmät (Delahaye 2007 edellä). Piissä ei siis välttämättä ole koodattuna Shakespearen tuotantoa eikä tätä blogiketjua.
Todennäköisyys, että satunnaisesti valittu – mitä satunnaisuus sitten ikinä tarkoittaakin – reaaliluku on piin tapainen laskettavissa oleva luku on kuitenkin nolla. Satunnaisesti valitun reaaliluvun lyhyin mahdollinen kuvaus on siis todennäköisyydellä yksi äärettömän pitkä. (Vovon man nicht sprechen kann…)
Aika uutta matematiikkaa ovat sellaiset luvut, joille on todistettu, että niitä ei voi ilmaista lyhyemmin kuin luettelemalla kaikki numerot (jokainen desimaali on täysin riippumaton kaikista muista), mutta jotka silti ovat matemaattisesti täsmällisesti määriteltyjä – niistä voi puhua, niille voi antaa nimen (omega; Chaitin 1975). (Tietyn) omegan arvoja on muutama jopa laskettu, mutta omegan arvoja ei voi periaatteessakaan laskea mielivaltaisen pitkälle. (Omega liittyy Turingiin: koodataan yhteen lukuun tieto siitä, mitkä kaikista mahdollista tietokoneohjelmista päättyvät ja mitkä ajautuvat äärettömään luuppiin – kaikkia mahdollisia tietokoneohjelmiahan on ”vain” numeroituva ääretön määrä, joten ne mahtuvat koodattuna mainiosti yhteen reaalilukuun…)
Omegassa on siis todistettavasti koodattuna tämäkin blogikirjoitus kaikilla kielillä ja kaikilla kirjoitusvirheillä ja kaikki eri versiot vielä äärettömän moneen kertaan – jos siis uskoo, että ääretön on olemassa.
27.02.2012 15:32 |
Kekkailen joutessani uusia tapoja havainnollistaa ”äärettömän” (tai ”satunnaisuuden”) käsitteen mielettömyyttä.
Piitä ei ole todistettu ”normaaliksi”, toisin sanoen ei ole todistettu, että kaikki numerot nollasta yhdeksikköön olisivat piin numeroita ”tarpeeksi pitkälle” lueteltaessa yhtä yleisiä (Chaitin 2007, s. 121).
On mahdollista, että kaikki loput piin desimaalit, joita ei vielä tunneta ovatkin esimerkiksi yhdeksikköjä. Ihan sama kunka pitkälle piin desimaaleja lasketaan lisää, mahdollisuus säilyy, että kaikki loput joita ei vielä tunne ovat yhdeksikköjä.
Jos hyväksytään, että piissä on äärettömän monta numeroa, niin on mahdollista, että 100 % piin desimaaleista on yhdeksikköjä! Ihan sama kuinka ison (äärellisen) määrän piin desimaaleista tunnemme, tunnemme kuitenkin aina tasan 0% desimaaleista; aina jää mahdollisuus, että ne kaikki loput ovatkin yhdeksikköjä.
(Tietenkään emme ikinä voisi olla varmoja siitäkään, että yhdeksikköjä on piissä ääretön määrä peräkkäin. Jossain vaiheessa voi olla tullut vastaan esimerkiksi kvadriljoonagoogolpleksia kolmesataakolme kappaletta yhdeksikköä peräkkäin, eikä se todista tietenkään mitään, koska vasta 0 % äärettömästä yhdeksiköstä on silloin kasassa.)
Chaitin, G. 2007: Metamaths: The quest for Omega. Atlantic books, Lontoo. 222 s.
14.09.2012 9:35 |
Tuli mieleen, edellyttävätkö Kurt Gödelin epätäydellisyysjutskat äärettömän olemassaoloa?
Vai voisiko tehdä täydellisen äärellisen matematiikan (formaalin loogisen järjestelmän), niin että siinä ei olisi sisäisiä ristiriitoja eikä mielekkäitä väittämiä, joita ei voisi todistaa oikeaksi eikä vääräksi?
Oletettaisiin siis että on olemassa suurin luku ja vedettäisiin siitä matematiikan perusteet uusiksi (Principia Mathematica Finitus?) Ei tarvitsisi heti tietää mikä se isoin luku, voisi tehdä harjoitusversion, jossa isoin mahdollinen luku on vaikka 103.
Mistä tällaista voi kysyä? Ei liene apua näin merkittäviin ja kiinnostaviin kysymyksiin sanomalehtien kirsteistä ja torsteista.